2進数なお話 その３
前回の終わりに「コンピュータの中で四則演算は全て足し算で出来る」と書きました．今回は引き算を足し算でする方法についてまとめて２進数の話は一旦閉じようと思います．ホントは浮動小数点とか論理演算の話もやっておこうかなと思ったんですが，これは後の機会にやろうと思います．
では，まずマイナスの数とはどう表せるのか考えてみます．ちなみに今回も8bitとして考えます．１０進数で２５５という数があります．これを２進数として表すと次のようになります．
0b11111111
ずらっと１が並びます．ここでこれに１を足すと考えます．すると全ての桁で繰り上がりが発生するので
0b11111111 + 0b00000001 = 0b00000000
となり，２５６は０になってしまいます．気付かれたでしょうか，この計算は「-1 + 1」（または255 - 255）の計算と全く同じことに．
つまり，こう言えるという事です．「１０進数で２５５という数は-１に相当する．」同様に解釈してゆくと．．．
「１０進数で２５５という数は-１に相当する．」
「１０進数で２５４という数は-２に相当する．」
「１０進数で２５３という数は-３に相当する．」
・・・・
「１０進数で３という数は-２５３に相当する．」
「１０進数で２という数は-２５４に相当する．」
「１０進数で１という数は-２５５に相当する．」
解釈の仕方はわかったものとして，ここで腑に落ちない事があると思います．「結局0b11111111は-1なのか255なのか」という事です．確かにこのままではわかりません．どちらとも意味がとれてしまいます．
そこで考えられたのが，一番左のbit（一番左の桁）で符号を表すことです．０の時はプラス，１の時はマイナスという具合です．これならはっきりわかります．
- 補数
そしてもう一つマイナスを表す際に重要なのが，補数をとることです．補数についての小難しい話は上のリンクをたどってもらうことにして，簡単に言えば，マイナスの数をプラスの数として表す方法というものです．
んで，２進数の場合は２の補数をとらなければなりません．２の補数をとる場合は，まず先に１の補数をとります．とり方は「１-その桁の数」で計算します．２進数はその計算が楽なもんで，１を足す（引く）というのはイコール現在の数の反転という意味になるんですね．（０なら１に１なら０に）
例としてこんな感じ．４の１の補数は
0b00000100 → 0b11111011
１の補数ととった後，その数に対して＋１を行います．そうすることで２の補数が完成します．上の例をそのまま使うと
0b11111011 → 0b11111100
となります．試しに４ - ４やってみましょう．
0b00000100
+ 0b11111100
--------------
0b00000000
綺麗に０が並びました．という訳で補数を計算してゆくとこんな感じになってゆきます．
0b01111111は１２７
0b00000001は１
0b11111111は-１
0b10000001は-１２７
0b10000000は-１２８ だといえます．
これら二つの事から，一番最初の考え方と状況が変わった事は，８桁で表せる範囲が変わったという事です．先ほどまでは０～２５５（もしくは０～ -２５５）でしたが，今回一番左のbitを符号と置き換えることによって-１２８～１２７までの数を表せることになりました．これででしっくりくる計算が可能になりました．マイナスの計算ができれば，もちろんわり算も可能になりますね．
ちなみに，今回は２進数の話なので，２の補数の話を書いていきましたが，１０進数だって，同じように１０の補数とって，足し算だけで計算も可能なんですよ．おまけでちょっとやってみますか．わかりやすいように４桁で計算してみます．４０という数で１０の補数をとってみます．
まずは９の補数をとります．まず，９ - それぞれの桁の数の計算をします．
0040 → 9959
そして +１をして，１０の補数にします．
9959 → 9960
試しに40 - 40をしてみましょう．
0040
+ 9960
---------
0000
といった感じにこれまた見事に０になりました．というところで三回にわたってやってきたお話もとりあえずココで締めます．
個人的に楽しかったけど，読んでる人は講義みたいでつまらなかったかもしれませんね．懐かしがってくれたり，勉強になりますといったコメントが寄せられましたが，そんなコメントがあった分だけ，とりあげて良かったですよ．
一番上の画像の元ネタ
- 2進数の雨の中